Tours de groupes et diagrammes de Bratteli
Résumé
A new approach of the representation theory of the symmetric group has been developped by Okounkov et Vershik; it provides a different point of view on the subject compared to the "traditional" approaches. Moreover it intends to be generalizable to other chains of groups and algebras such as the other series of finite Coxeter groups, or the local and stationary towers of algebras. In this report we remind the usual presentation of the symmetric group and outline the new approach of its representation theory. Then we recall the definition of a local and stationary tower of algebras, of Bratteli diagram and of what is called Gelfand-Tsetlin basis and Gelfand-Tsetlin algebra in the new approach. We attempted to generalize this new approach to the chain of the alternating groups. For this purpose we study two known presentations of the alternating group, and give a new one which supplies the chain of the alternating groups with a structure of a local and stationary tower; in each case we realize the Coxeter-Todd algorithm and give a normal form for the elements of the group. We also begin the search for analogues of Jucys-Murphy elements for the alternating groups.
Une nouvelle approche pour la théorie des représentations du groupe symétrique a été développée par Okounkov et Vershik ; elle fournit un éclairage différent sur le sujet par rapport aux approches « traditionnelles ». Par ailleurs, cette méthode vise à établir un cadre reproductible pour étudier les représentations d'autres chaînes de groupes et d'algèbres, telles que les autres séries de groupes de Coxeter finis, ou les tours d'algèbres locales et stationnaires. Dans ce mémoire, nous rappelons la présentation traditionnelle du groupe symétrique, et résumons le fond de la nouvelle approche pour sa théorie des représentations. Ensuite, nous rappelons la définition de tour d'algèbres locale et stationnaire, de diagramme de Bratteli et de ce qui est appelée base de Gelfand-Tsetlin et algèbre de Gelfand-Tsetlin dans la nouvelle approche. Nous nous sommes intéressés à la possibilité de généraliser cette approche pour la chaîne des groupes alternés. Dans ce but, nous étudions les présentations usuelles du groupe alterné, et en donnons une nouvelle qui munit la chaîne des groupes alternés d'une structure de tour locale et stationnaire ; dans chaque cas, nous réalisons l'algorithme de Coxeter-Todd et donnons une forme normale pour les éléments du groupe. Nous entamons également la recherche d'analogues des éléments de Jucys-Murphy pour les groupes alternés.
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