Analyse fonctionnelle, spectrale et probabiliste sur domaines d'extension de Sobolev - DUMAS - Dépôt Universitaire de Mémoires Après Soutenance Accéder directement au contenu
Mémoires Année : 2023

Analyse fonctionnelle, spectrale et probabiliste sur domaines d'extension de Sobolev

Résumé

Whether it be in the medical field or for the detection of impurities in metal alloys, imaging problems have many areas of application. From a mathematical point of view, these problems are modelled by transmission problems. In this thesis, we study those problems in the context of domains with irregular boundaries such as fractals. By focusing on a large class of Sobolev extension domains, which we call two-sided extension domains, we generalize notions regarding transmission problems for Lipschitz boundaries such as the single and double layer potential, the Poincaré-Steklov and the Neumann-Poincaré operators. In particular, we generalize the representation formula for the solutions to the two-phase transmission problem to extension domains. The connection of transmission problems on extension domains with the probabilistic concept of the Markov chain is emphasised, and so is their link with the notion of the Hilbert transform, which is generalized to the non-Lipschitz framework. We establish any domain can be approximated by a sequence of dyadic domains, and prove the convergence of harmonic extensions from the boundary along a sequence of converging domains.
Que ce soit dans le domaine médical ou pour la détection d’impuretés dans les alliages métalliques, les problèmes d’imagerie trouvent de nombreux domaines d’application. D’un point de vue mathématique, ces problèmes sont modélisés par des problèmes de transmission. Dans cette thèse, on étudie ces problèmes dans le cadre de domaines dont le bord peut être irrégulier, par exemple fractal. En se plaçant sur une large classe de domaines d’extension de Sobolev, que l’on nomme domaines d’extension bilatéraux, on généralise des notions relatives au problèmes de transmission pour des bords Lipschitziens telles que les opérateurs potentiels simple et double couches, Poincaré-Steklov et Neumann-Poincaré. En particulier, on généralise la formule de représentation des solutions du problème de transmission à deux phases pour des domaines d’extension. On souligne le lien qu’ont les problèmes de transmission sur des domaines d’extension avec le concept probabiliste de chaîne de Markov, ainsi qu’avec la notion de transformée de Hilbert que l’on généralise dans le cadre non-Lipschitzien. On montre que tout domaine peut être approximé par une suite de domaines dyadiques et l’on prouve la convergence d’extensions harmoniques depuis le bord le long d’une suite convergente de domaines.
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Dates et versions

dumas-04467822 , version 1 (20-02-2024)

Identifiants

  • HAL Id : dumas-04467822 , version 1

Citer

Gabriel Claret. Analyse fonctionnelle, spectrale et probabiliste sur domaines d'extension de Sobolev. Mathématiques [math]. 2023. ⟨dumas-04467822⟩
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